数列{an}中，a1=1，an+1=anan+1(n∈N*)．求通项an；令bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=anan+1(n∈N*)．
（1）求通项a_n；
（2）令b_n=2nan，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=anan+1(n∈N*)，得
1an+1=an+1an=1an+1，
所以1an+1-1an=1．
所以1a1=1
1a2-1a1=1
1a3-1a2=1
…
1an-1an-1=1．
累加得1an=n．
∴an=1n(n∈N*)； 
（2）由b_n=2nan，
∴Tn=1×21+2×22+…+n×2n
2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1．
两式相减得：-T_n=2+（2²+2³+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹
=2×(1-2n)1-2-n×2n+1
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2∴Tn=(n-1)×2n+1+2

解析

anan+1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，an+1=an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。