数列{an}满足a1=2，a2=5，an+2=3an+1-2an，求证：数列{an+1-an}是等比数列；　求数列{an}的通项公式an．

题文

数列{a_n}满足a₁=2，a₂=5，a_n+2=3a_n+1-2a_n，
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）…4分
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁为首项2为公比的等比数列…6分
（II）由（Ⅰ）a₂-a₁=3，所以数列{a_n+1-a_n}的通项公式为
a_n+1-a_n=3•2^n-1 …9分，
当n≥2时，
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂ ）+（a₂-a₁）+a₁
=3•2^n-2+3•2^n-3+3•2^n-4+…+3•2¹+3•2^0₊2
=3•2^n-1-1   
又n=1也符合上式，所以a_n=3•2^n-1-1 
…13分

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=2，a2=5，an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。