已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn=an2+4an+3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．求数列{an

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足8Sn=an2+4an+3(n∈N*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵8S_n=a_n²+4a_n+3，①
∴8a₁=a₁²+4a₁+3．
解之，得a₁=1，或a₁=3．…（2分）
又8S_n-1=a_n-1²+4a_n-1+3（n≥2），②
由①-②，得 8a_n=（a_n²-a_n-1²）+4（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0．
∵各项均为正数则a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=4（n≥2）．…（5分）
当a₁=1时，a₂=5，a₇=25．a₁，a₂，a₇成等比数列，
∴a_n=4n-3，b_n=5^n-1
当a₁=3时，a₂=7，a₇=27，有 不构成等比数列，舍去．
（2）满足条件的a存在，a=45
由（1）知，a_n=4n-3，b_n=5^n-1从而
a_n-log_ab_n=4n-3-log_a5^n-1=（4-log_a5）n-3+log_a5
由题意得4-log_a5=0
∴a=45

解析

45

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。