已知一非零向量列{an}满足：a1=，an==12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)证明：{|an|}是等比数列

题文

已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|a_n|log₂|a_n|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（l）证明：|an|=12(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
=22xn-12+yn-12=22|an-1|（n≥2）又|a1|=2 
∴数列|an|是以2为首项，公比为22的等比数列．…（4分）
（2）∵an-1•an=(xn-1，yn-1) •12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=12(xn-12+yn-12)=12|an-1|²
∴cosθ_n=an-1•an |an-1|•|an|=22，∴θ_n=π4，∴b_n=2nθ_n-1=nπ2-1．
Sn=b₁+b₂+…+b_n=(π2-1)+ (2π2-1)+…(nπ2-1)=π4(n2+n)-n…（8分）
（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵|an|=2(22)n-1=22-n2，
∴c_n=|a_n|log₂|a_n|=2-n2•22-n2，由c_n≤c_n+1 得2-n2•22-n2≤1-n2•21-n2
即2（2-n）≤1-n，∴（2-1）n≥22-1．
∴n≥22-12-1=3+2，∵n为正整数，∴n≥5．
由c_n≤c_n-1 得n≤4+2，n≤5．，∴n=5
 故存在最小项，最小项为c₅=-32•2-32…（12分）

解析

an

考点

据考高分专家说，试题“已知一非零向量列{an}满足：a1=（1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。