数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点在直线y=2x+1上，n∈N*．若数列{an}是等比数列，求实数t的值；设bn=nan

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令cn=bn-4bn（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得，当n≥2时，有an+1=2Sn+1an=2Sn-1+1，（1分）
两式相减，得 a_n+1 -a_n =2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{a_n}是等比数列，要使n≥1时{a_n}是等比数列，
则只需a2a1=2t+1t=3，从而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，∴an=3n-1．（5分）
∴bn=nan=n•3n-1，（6分）
∴Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)•3n-2+n•3n-1，①（7分）
上式两边乘以3得3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n②，（8分）
①-②得-2Tn=30+31+32+…+3n-1-n•3n，（9分）
∴Tn=2n-14•3n+14．（10分）
（3）由（2）知bn=n•3n-1，∵cn=1-4bn，
∵c1=1-41=-3，c2=1-42×3=13，∴c₁c₂=-1＜0．（11分）
∵cn+1-cn=4bn-4bn+1=4(2n+3)n(n+1)•3n＞0，∴数列{c_n}递增．（12分）
由c2=13＞0，得当n≥2时，c_n＞0．（13分）
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．（14分）

解析

an+1=2Sn+1an=2Sn-1+1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。