设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2．设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；求数列{an}

题文

（示范高中）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，有a₁+a₂=4a₁+2故a₂=3a₁+2=5
所以 b₁=a₂-2a₁=3．
因为S_n+1=4a_n+2①
故当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2②
①-②，得a_n+1=4a_n-4a_n-1
所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又因为b_n=a_n+1-2a_n所以b_n=2b_n-1
所以{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列．…（4分）
（2）由（1）可得：b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
所以an+12n+1-an2n=34
因此数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．
所以an2n=12+34(n-1)=34n-14
故a_n=（3n-1）•2^n-2…（8分）
（3）由（1）知，当n≥2时，S_n=4a_n-1+2
故S_n=4a_n-1+2=4•（3n-4）•2^n-3+2=（3n-4）•2^n-1+2，n≥2
又S₁=a₁=1
故S_n=（3n-4）•2^n-1+2，n∈N^*…（12分）

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“（示范高中）设数列{an}的前n项和为S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。