从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{an}的一个子数列，设数列{an}是一个首项为a1，公差为d的无穷等差数列．（

题文

从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a_n}的一个子数列，设数列{a_n}是一个首项为a₁，公差为d（d≠0）的无穷等差数列．
（1）若a₁，a₂，a₅为公比为q的等比数列，求公比q的值；
（2）若a₁=1，d=2，请写出一个数列{a_n}的无穷等比子数列{b_n}；
（3）若a₁=7d，{c_n}是数列{a_n}的一个无穷子数列，当c₁=a₂，c₂=a₆时，试判断{c_n}能否是{a_n}的无穷等比子数列，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，
于是d=2a₁，故其公比 q=a2a1=3；
（2）取b₁=3，b₂=9，则数列{a_n}的无穷等比子数列{b_n}可以为b_n=3ⁿ满足题意；
（3）设等比数列的公比q=a6a2=32，bm=a2qm-1=8d•(32)m-1，由题设a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d
假设数列{b_m}为{a_n}的无穷等比子数列，
则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，
即 (n+6)d=8d•(32)m-1，
得n=8(32)m-1-6，
当m=5时，n=8(32)5-1-6=692∉N*与假设矛盾，
故该数列不为{a_n}的无穷等比子数列．

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“从数列{an}中取出部分项，并将它们按原.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。