已知等差数列{an}的公差不为零，若S1，S2，S4成等比数列．求S1，S2，S4的公比；若S2=4，令bn=1anan+1，求{bn}的前n项和S

题文

已知等差数列{a_n}的公差不为零，若S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，令bn=1anan+1，求{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意，得S₂²=S₁•S₄
所以（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d）
因为d≠0，所以d=2a₁
故S₁，S₂，S₄的公比为S2S1=4；
（2）由（1）可得S2S1=4，又由S₂=4，
则S₁=a₁=1，a₂=4-1=3，
则d=a₂-a₁=3-1=2，则a_n=2n-1，
∴bn=1anan+1=12×(12n-1-12n+1)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=12×（1-12n+1）=n2n+1，
∴{b_n}的前n项和为n2n+1．

解析

S2S1

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差不为零，若S1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。