等比数列{an}，an＞0，它的前k项和Sk=80，a1，a2，a3，…，ak中最大的一项是54，且前2k项的和S2k=6560．求：数列的通项an=f（

题文

等比数列{a_n}，a_n＞0，它的前k项和S_k=80，a₁，a₂，a₃，…，a_k中最大的一项是54，且前2k项的和S_2k=6560．
求：（1）数列的通项a_n=f（n）；
（2）limn→∞anSn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可知q＞1，所以a₁，a₂，a₃，…，a_k中最大项是a_k，a_k=a₁•q^k-1=54…..（3分）
S2k=a1-a1q2k1-qSk=a1-a1qk1-q 即a1-a1q2k1-q=6560a1-a1qk1-q=80a1qk-1=54解方程组得到q=3，a₁=2，a_n=2•3^n-1；…（8分）
（2）Sn=a1+a2+a3+…+an=2(1-3n)1-3=3n-1，…．（10分）
limn→∞anSn=limn→∞2×3n-13n-1=23…．（12分）

解析

S2k=a1-a1q2k1-qSk=a1-a1qk1-q

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}，an＞0，它的前k项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。