我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与

题文

我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．
第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q第3行q²……第n行q^n-1（1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格；
（2）试用n、q表示第二列的各数之和；
（3）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，若c₁，c₂，c₃成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，c₃，…，c_m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）如表…（3分）
第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q1+q2+q（n-1）q第3行q²1+q+q²……第n行q^n-11+q+…q^n-1（2）S=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+…+q^n-1）
当q=1时，S=1+2+3+…+n=n(n+1)2   
 当q≠1时，1+q+…+q^n-1=1-qn1-q
S=n-(q1+q2+…+qn)1-q=n1-q-qn-qn+1(1-q)2
所以综上可知Sn=n(n+1)2q=1n1-q-qn-qn+1(1-q)2q≠1
（3）可知c₁=1，c₂=2+q，c₃=3+2q+q²
由c22=c1c3⇒q=-12，则c1=1，c2=32，c3=94
若m≥3时，c₁，c₂，c₃，…，c_m为等比数列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比数列
由上可知此时q=-12，又 c₄=4+3q+2q²+q³得知c4=238
而c4c3=23894≠32，所以对于任意的m≥4，c₁，c₂，c₃，…，c_m一定不是等比数列
综上所述，当且仅当m=3且q=-12时，数列c₁，c₂，c₃，…，c_m是等比数列．

解析

第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q1+q2+q（n-1）q第3行q²1+q+q²……第n行q^n-11+q+…q^n-1

考点

据考高分专家说，试题“我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。