已知公比q为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且5s2=4s4．求q的值．若bn=q+sn-1，且数列bn也为等比数列，求数列

题文

已知公比q为正数的等比数列a_n的前n项和为S_n，且5s₂=4s₄．
（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若b_n=q+s_n-1，（n≥2，n∈N^*）且数列b_n也为等比数列，求数列（2n-1）b_n的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）若q=1，则5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，∵a₁≠0，
∴5S₂≠4S₄，不合题意．（2分）
若q≠1，由5S₂=4S₄得5×a1(1-q2)1-q=4×a1(1-q4)1-q，
∴q2=14，又q＞0，
∴q=12．．（5分）
（Ⅱ）bn=12+a1[1-(12)n-1]1-12=12+2a1-a1•(12)n-2，（7分）
由b_n为等比数列知：12+2a1=0，得a1=-14，
∴bn=14•(12)n-2=12n．（9分）
则Tn=12+322+523+…+2n-12n①
12Tn=122+322+…+2n-32n+2n-12n+1②
两式相减化简得T_n=3-2n+32n（12分）

解析

a1(1-q2)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知公比q为正数的等比数列an的前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。