等差数列an不是常数列，a5=10，且a5，a7，a10是某一等比数列bn的第1，3，5项．求数列an的第20项；求数列bn的通项公式．

题文

等差数列a_n不是常数列，a₅=10，且a₅，a₇，a₁₀是某一等比数列b_n的第1，3，5项．
（1）求数列a_n的第20项；
（2）求数列b_n的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列a_n的公差为d，则a₅=10，a₇=10+2d，a₁₀=10+5d
因为等比数列b_n的第1、3、5项也成等比，所以a₇²=a₅a₁₀，
即：（10+2d）²=10（10+5d），
解得d=52，d=0舍去）
∴a₂₀=a₅+15d=47.5．
（2）由（1）知a_n为正项数列，
所以q2=b3/b1=a7/a5=1510=32，
即q=±(32)12，
∴bn=b1•qn-1=a5•qn-1=±10(32)n-12．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“等差数列an不是常数列，a5=10，且a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。