设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．求数列{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f；先阅读下面

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（1）求数列{a_n}的首项a₁与递推关系式：a_n+1=f（a_n）；
（2）先阅读下面定理：“若数列{a_n}有递推关系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an-B1-A}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令n=1，S₁=2a₁-3．∴a₁=3
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减得，a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，（3分）
则a_n+1=2a_n+3（4分）
（2）按照定理：A=2，B=3，
∴{a_n+3}是公比为2的等比数列．
则a_n+3=（a₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，∴a_n=6•2^n-1-3．（8分）
（3）∵a_n=6•2^n-1-3，
∴S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3），
∴Sn=6(1-2n)1-2-3n=6•2n-3n-6．（12分）

解析

6(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。