已知数列{an}是首项、公比都为q的等比数列，bn=anlog4an．当q=5时，求数列{bn}的前n项和Sn；当q=

题文

已知数列{a_n}是首项、公比都为q（q＞0且q≠1）的等比数列，b_n=a_nlog₄a_n（n∈N^*）．
（1）当q=5时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）当q=1415时，若b_n＜b_n+1，求n最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题得a_n=qⁿ，∴b_n=a_n•log₄a_n=qⁿ•log₄qⁿ=n•5ⁿ•log₄5
∴S_n=（1×5+2×5²+…+n×5ⁿ）log₄5
设T_n=1×5+2×5²+…+n×5ⁿ①
5T_n=1×5²+2×5³+…（n-1）5ⁿ+n×5ⁿ⁺¹②
②-①：-4T_n=5+5²+5²+…+5ⁿ-n×5ⁿ⁺¹=5(5n-1)4-n×5ⁿ⁺¹
T_n=515(4n×5n-5n+1)，
S_n=516(4n×5n-5n+1)log45；
（2）b_n=a_nlog₄a_n=n(1415)nlog41415，
b_n+1-b_n=[（n+1）(1415)n+1-n(1415)n]log41415log41415
=[(1415)n(1415-n15)log41415]＞0，因为log41415＜0，(1415)n＞0，
所以1415-n15＜0，解得n＞14，
即取n≥15时，b_n＜b_n+1．
所求的最小自然数是15．

解析

5(5n-1)4

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项、公比都为q（q＞.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。