已知各项均为正数的等比数列{an}满足an＞an+1且a3+a9=18，a4•a8=32．求此数列中所有小于1的项的各项和S．

题文

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a_n＞a_n+1且a₃+a₉=18，a₄•a₈=32．求此数列中所有小于1的项的各项和S． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵{a_n}为等比数列，
∴a₄•a₈=a₃•a₉=32，（2分）
又∵a₃+a₉=18，
∴a₃，a₉为方程x²-18x+32=0的两个根，（3分）
又∵a_n＞a_n+1，
∴a₃=16，a₉=2，（5分）
∴q6=a9a3=18，
又a_n＞0恒成立，
∴q=22（7分）
∴a1=a3q2=32，
∴an=32•(22)n-1=211-n2（9分）
∴当n≥12时，a_n＜1，a12=22（10分）
∴S=221-22=2+1（14分）

解析

a9a3

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的等比数列{an}满足a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。