已知数列{an}满足a1=a，其前n项和Sn=a1-a求证：{an}为等比数列；记bn=anlg|an|

题文

已知数列{a_n}满足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n项和S_n=a1-a（1-a_n）
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）记b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n为数列{b_n}的前n项和，那么：
①当a=2时，求T_n；
②当a=-73时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a1-a（1-a_n-1），
整理得：anan-1=a，
所以{a_n}是公比为a的等比数列；
（2）∵a₁=a，∴a_n=aⁿ（n∈N^*），
∴b_n=a_nlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|（n∈N^*），
①当a=2时，T_n=（2+2•2²++n•2ⁿ）lg2，2T_n=[2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]lg2，
两式相减得：-T_n=（2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）lg2，
②∵-1＜a＜1，∴当n为偶数时，b_n=naⁿlg|a|＞0；当n为奇数时，b_n=naⁿlg|a|＜0，
如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数，
又b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-a21-a2）lg|a|，其中k∈N^*，
当a=-73时，a²-1=29，
∴2a^2k（a²-1）lg|a|＞0，又a21-a2=72，
∴当k＞72时，b_2k+2＞b_2k，即b_g＜b₁₀＜b₁₂；
当k＜72时，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．

解析

a1-a

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=a（a≠0，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。