已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+n+1，n∈N*．若数列{an+pn+q}是等比数列，求实数p、q的值；若数列{an}的前n项和为

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n+pn+q}是等比数列，求实数p、q的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求a_n和S_n；
（Ⅲ）试比较a_n与（n+2）²的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设an+1+p(n+1)+qan+pn+q=m对任意n∈N^*都成立．
得a_n+1+p（n+1）+q=ma_n+mpn+mq．（2分）
又a_n+1=2a_n+n+1，
则2a_n+n+1+pn+p+q=ma_n+mpn+mq，
即（2-m）a_n+（p+1-mp）n+p+1+q-mq=0．
由已知可得a_n＞0，
所以2-m=0p+1-mp=0p+1+q-mq=0.解得m=2p=1q=2.（5分）
则存在常数p=1，q=2使数列{a_n+pn+q}为等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+n+2=4•2^n-1．
则a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．（8分）
所以S_n=a₁+a₂++a_n=2²+2³++2ⁿ⁺¹-（3+4++n+2）=22(2n-1)2-1-n(n+5)2=2n+2-4-n2+5n2．（10分）
（Ⅲ）当n=1时，a₁=1，（1+2）²=9，则a₁＜9；
当n=2时，a₂=4，（2+2）²=16，则a₂＜16；
当n=3时，a₃=11，（3+2）²=25，则a₃＜25；
当n=4时，a₄=26，（4+2）²=36，则a₄＜36；
当n=5时，a₅=57，（5+2）²=49，则a₅＞49；（11分）
当n≥5时，要证a_n＞（n+2）²⇔2ⁿ⁺¹-n-2＞（n+2）²⇔2ⁿ⁺¹＞n²+5n+6．
而2ⁿ⁺¹=C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²++C_n+1ⁿ⁺¹≥2（C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²）+C_n+1³
=2+2(n+1)+n(n+1)+(n-1)•n•(n+1)6
≥2+2（n+1）+n（n+1）+（n-1）•n（∵n+1≥6）
=（n²+5n+6）+[n（n-3）-2]＞n²+5n+6．
所以当n≥5时，a_n＞（n+2）²．（13分）
因此当1≤n≤4（n∈N^*）时，a_n＜（n+2）²；当n≥5（n∈N^*）时，a_n＞（n+2）²．（14分）

解析

an+1+p(n+1)+qan+pn+q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。