已知数列{an}的前n项和Sn=2n+a当a=1时，求{an}的通项公式若数列{an}是等比数列，求a的值在的条件下，求a12+a22+

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+a
（1）当a=1时，求{a_n}的通项公式
（2）若数列{a_n}是等比数列，求a的值
（3）在（2）的条件下，求a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1
n=1时，a₁=S₁=2+a=3，不满足上式
故an=3，n=12n-1，n≥2
（2）a₁=2¹+a=2+a，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4，
∵数列{a_n}是等比数列，
∴（2+a）•4=4，求得a=-1
（3）数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=1+4+16+…+（2^n-1）²=1×(1-4n)1-4=13(4n-1)

解析

3，n=12n-1，n≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=2n+a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。