以知{an}前项n和sn=2an-1，证明{an}是等比数列；求{an}通项公式；求{an}前n项的和．

题文

以知{a_n}前项n和s_n=2a_n-1（n∈N），（1）证明{a_n}是等比数列；（2）求{a_n}通项公式；（3）求{a_n}前n项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵s_n=2a_n-1，s_n-1=2a_n-1-1，（n≥2），
∴两式相减得：s_n-s_n-1=a_n=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即anan-1=2，
又令n=1，得到s₁=a₁=2a₁-1，解得：a₁=1，
同理令n=2，得到a₂=2，此两项满足此关系，
则数列{a_n}为等比数列；（5分）
（2）由（1）得到{a_n}为首项是1，公比为2的等比数列，
∴通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（3）由（1）得到{a_n}为首项是1，公比为2的等比数列，
则前n项和公式s_n=a1(1-qn)1-q=1-2n1-2=2ⁿ-1．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“以知{an}前项n和sn=2an-1（n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。