已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4，S4=s2+12，求：首项a1及公比q的值；若bn=nan，求数列{bn}的前n项和

题文

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，且a₃=4，S₄=s₂+12，求：
（1）首项a₁及公比q的值；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S₄-S₂=12，得a₃+a₄=12，则a₄=8
故q=a4a3=84=2，a1=a3q2=1（5分）
（2）由（1）知：数列{a_n}的首项为1，公比为2的等比数列，
a_n=2^n-1，b_n=n•2^n-1，
∴Tn=b1+b2+b3+bn=1+2•2+3•22++n•2n-12Tn=2+2•22+3•23++(n-1)•2n-1+n•2nTn=(n-1)2n+1
故数列数列{b_n}的前项和T_n为（n-1）2ⁿ+1（12分）

解析

a4a3

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的各项都是正数，前n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。