已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=2，a2=b2=4．求an、bn；对于∀n∈N*，试比较an、bn的大小并用数学归纳法证明你的结

题文

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．
（I）求a_n、b_n；
（Ⅱ）对于∀n∈N^*，试比较a_n、b_n的大小并用数学归纳法证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．∴等差数列{a_n}的公差d=2，等比数列{b_n}的公比q=2
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，b_n=2×2^n-1=2ⁿ
（Ⅱ）由已知，
当n=1，2时，a_n=b_n，
当n=3时，a₃=6，b=8，a_n＜b_n
当n=4时，a₃=8，b=16，a_n＜b_n
当n=5时，a₃=10，b=25，a_n＜b_n
猜测当n≥3时，a_n＜b_n
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=3时，a₃=6，b=8，a_n＜b_n成立
（2）假设当n=k（k≥3）时成立，即2k＜2^k，
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2•2k=2k+2k＞2k+2=2（k+1），即a_n+1＜b_n+1，所以当n=k+1时也成立
由（1）（2）可知当n≥3时，a_n＜b_n都成立．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}和等比数列{bn}，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。