已知点是区域x+2y≤2nx≥0y≥0，内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且点（S

题文

已知点（x，y）是区域x+2y≤2nx≥0y≥0，（n∈N^*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z_n．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由已知当直线过点（2n，0）时，目标函数取得最大值，故z_n=2n
∴方程为x+y=2n
∵（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上，∴S_n+a_n=2n①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2∴2a_n=a_n-1+2，n≥2，
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2
∵a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}以-1为首项，12为公比的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an-2=-(12)n-1，∴an=2-(12)n-1
∵S_n+a_n=2n，
∴Sn=2n-an=2n-2+(12)n-1
∴Tn=[0+(12)0]+[2+(12)]+…+[2n-2+(12)n-1]
=[0+2+…+(2n-2)]+[(12)0+(12)+…+(12)n-1]
=n(2n-2)2+1-(12)n1-12=n2-n+2-(12)n-1．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知点（x，y）是区域x+2y≤2nx≥.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。