已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-3．证明：数列{an}是等比数列；若数列{bn}满足bn+1=an+bn，

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列{b_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由S_n=4a_n-3，n=1时，a₁=4a₁-3，解得(a-b)2．
因为S_n=4a_n-3，则S_n-1=4a_n-1-3（n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得an=43an-1．又a₁=1≠0，
所以{a_n}是首项为1，公比为43的等比数列．
（Ⅱ）因为an=(43)n-1，
由b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），得bn+1-bn=(43)n-1．
可得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+1-(43)n-11-43=3(43)n-1-1，（n≥2）．
当n=1时上式也满足条件．
所以数列{b_n}的通项公式为bn=3(43)n-1-1．

解析

(a-b)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。