各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，Sn=14a2n+12an(n∈N*)；求an；令bn=an，n为奇数bn2，n为偶数，cn=b2n

题文

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn=14a2n+12an (n∈N*)；
（1）求a_n；
（2）令bn=an，n为奇数bn2，n为偶数，cn=b2n+4 (n∈N*)，求{c_n}的前n项和T_n；
（3）令bn=λqan+λ（λ、q为常数，q＞0且q≠1），c_n=3+n+（b₁+b₂+…+b_n），是否存在实数对（λ、q），使得数列{c_n}成等比数列？若存在，求出实数对（λ、q）及数列{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a1=S1=14a21+12a1⇒14a21-12a1=0，
∵a₁＞0，∴a₁=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=14a2n+12an-14a2n-1-12an-1，
14(a2n-a2n-1)-12(an+an-1)=0，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，∴{a_n}为等差数列，（2分）
∴a_n=2n（n∈N^*）；（4分）
（2）c₁=b₆=b₃=a₃=6，c₂=b₈=b₄=b₂=b₁=a₁=2，（6分）
n≥3时，cn=b2n+4=b2n-1+2=b2n-2+1=a2n-2+1=2n-1+2，（8分）
此时，T_n=8+（2²+2）+（2³+2）+（2^n-1+2）=2ⁿ+2n；
∴Tn=6，n=18，n=22n+2n n≥3且n∈N*；（10分）
（3）cn=3+n+λq2(1-q2n)1-q2+λn=3+λq21-q2-λq2n+21-q2+(λ+1)n，
令3+λq21-q2=0λ+1=0⇒λ=-1q=±32，（14分）
∴存在(λ，q)=(-1，±32)，cn=4•(34)n+1．（16分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的数列{an}的前n项和为S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。