若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=an-1+an-22．求c的值；求数列{nan}的前n项和Sn．

题文

若公比为c的等比数列{a_n}的首项a₁=1且满足an=an-1+an-22（n3，4，…）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题设，当n≥3时，a_n=c²a_n-2，a_n-1=ca_n-2，an=an-1+an-22=1+c2an-2，
由题设条件可得a_n-2≠0，因此c2=1+c2，即2c²-c-1=0解得c=1或c=-12
（Ⅱ）由（Ⅰ），需要分两种情况讨论，
当c=1时，数列{a_n}是一个常数列，即a_n=1（n∈N^*）
这时，数列{na_n}的前n项和Sn=1+2+3++n=n(n+1)2
当c=-12时，数列{a_n}是一个公比为-12的等比数列，即an=(-12)n-1（n∈N^*）
这时，数列{na_n}的前n项和Sn=1+2(-12)+3(-12)2++n(-12)n-1①
1式两边同乘-122，得-12Sn=-12+2(-12)2++(n-1)(-12)n-1+n(-12)n②
①式减去②式，得(1+12)Sn=1+(-12)+(-12)2++(-12)n-1-n(-12)n=1-(-12)n1+12-n(-12)n
所以Sn=19[4-(-1)n3n+22n-1]（n∈N^*）

解析

an-1+an-22

考点

据考高分专家说，试题“若公比为c的等比数列{an}的首项a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。