已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0的两实根，且a1=1．求证：数列{an-13×2n}是等比数列；（

题文

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列{an-13×2n}是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，
∴an+an+1=2nbn=an•an+1（2分）
∵an+1-13×2n+1an-13×2n=2n-an-13×2n+1an-13×2n=-(an-13×2n)an-13×2n=-1．
故数列{an-13×2n}是首项为a1-23=13，公比为-1的等比数列．（4分）
（2）由（1）得an-13×2n=13×(-1)n-1，
即an=13[2n-(-1)n]∴Sn=a1+a2++an=13(2+22+23++2n)-13[(-1)+(-1)2++(-1)n]=13[2n+1-2-(-1)n-12]．（8分）
（3）由（2）得bn=an•an+1=19[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=19[22n+1-(-2)n -1]
要使b_n＞λS_n，对∀n∈N^*都成立，
即19[22n+1-(-2)n-1]-λ3[2n+1-2-(-1)n-12]＞0，(n∈N*)（*）（11分）
①当n为正奇数时，由（*）式得：19[22n+1+2n-1]-λ3(2n+1-1)＞0
即19(2n+1-1)(2n+1]-λ3(2n+1-1)＞0
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜13(2n+1)对任意正奇数n都成立，
故13(2n+1)(n为奇数）的最小值为1．
∴λ＜1．（13分）
②当n为正偶数时，由（*）式得：19(22n+1-2n-1]-λ3(2n+1-2)＞0，即19(22n+1+1)(2n-1)-2λ3(2n-1)＞0
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜16(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，
故16(2n+1+1)(n为偶数）的最小值为32．
∴λ＜32．（15分）
综上所述得，存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，λ的取值范围为（-∞，1）．（16分）

解析

an+an+1=2nbn=an•an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的相邻两项an，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。