在数列{an}中，a1=-14，3an-an-1=4n．求证：数列{an-2n+1}是等比数列；设数列{an}的前n项和为Sn

题文

在数列{a_n}中，a₁=-14，3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求证：数列{a_n-2n+1}是等比数列；
（II）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*），∴an=13(an-1+4n)，∴an+1-2(n+1)+1=13[an+4(n+1)]-2(n+1)+1=13an-2n3+13=13(an-2n+1)，（4分）
∴a_n-2n+1是以-15为首项，13为公比的等比数列．（6分）
（II）∵an-2n+1=-15•(13)n-1，∴an=-15•(13)n-1+2n-1，
当n≥2时，an-an-1=2+10•(13)n-2＞0，
∴数列a_n是单调递增数列，且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，（12分）
∴当且仅当n=2时，S_n的最小值是S₂=a₁+a₂=-14+（-2）=-16．（14分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=-14，3an-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。