设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+bn．用an表示an+1；并证明：∀n∈N+，an

题文

设数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=4，a₂=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+bn．
（1）用a_n表示a_n+1；并证明：∀n∈N₊，a_n＞2；
（2）证明：{lnan+2an-2}是等比数列；
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，S_n与2(n+43)是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得a₁=4，a₂=52，所以b₁=1故a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4；
由已知：a_n＞0，a₁＞2，a₂＞2，bn=4an∴an+1=an2+2an，
由均值不等式得a_n+1＞2
故∀n∈N₊，a_n＞2
（2）an+1+2an+1-2=(an+2an-2)2，an+1+2=(an+2)22an，
an+1-2=(an-2)22an
所以lnan+1+2an+1-2=2lnan+2an-2，所以{lnan+2an-2}是等比数列
（3）由（2）可知lnan+2an-2=(ln3)×2n-1=ln32n-1∴an=32n-1+132n-1-1
设Cn=432n-1=4(32n-2)(32n-2)＜14Cn-1，（n≥2）
Cn＜14Cn-1＜(14)2Cn-2＜＜(14)n-1C1=2(14)n-1
∴当n≥2时，an＜2+2(14)n-1
Sn=a1+a2++an＜4+2(n-1)+2[14+(14)2++(14)n-1]
=2n+2+2×14(1-14n-1)1-14
=2n+2+23(1-14n-1)＜2n+83．

解析

52

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}，{bn}满足：a1=4，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。