设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1．求证数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；设数列{nan}的前n项和为Tn

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式；
（Ⅲ）对任意n∈N⁺，试比较 Tn2 与 S_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，二式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴an+1an=2，∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，（3分）
又∵S₁=2a₁-1，∴a₁=1，∴a_n=2^n-1．（5分）
（Ⅱ）∵na_n=n2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②（7分）
①-②得-T_n=1+2+4+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ=1-2n1-2-n2n=2n-1-n2n，
∴T_n=n2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）2ⁿ+1．（9分）
（Ⅲ）∵Sn=1-2n1-2=2n-1，
∴Tn2-Sn=12(n2n-2n+1)-(2n-1)=(n-3)2n-1+32，（11分）
∴当n=1时，T12-S₁=-12＜0，当n=2时，T22-S₂=-12＜0，；
当n≥3时，Tn2-S_n＞0．（13分）
综上，当n=1或n=2时，Tn2＜Sn；当n≥3时，Tn2＞Sn．（14分）

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。