已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意的n∈N+，有Sn=32an-32．求数列{an}的通项公式；设bn=1log3an•lo

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，且对任意的n∈N₊，有Sn=32an-32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=1log3an•log3an+1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得Sn=32an-32，
∴当n≥2时，Sn-1=32an-1-32；
∴Sn-Sn-1=32an-32an-1，即an=32an-32an-1，
∴当n≥2时，a_n=3a_n-1；
∴数列{a_n}为等比数列，且公比q=3；
又当n=1时，S1=32a1-32，
即a1=32a1-32，∴a₁=3；
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵log₃a_n=log₃3ⁿ=n，
∴bn=1log3an•log3an+1=1n(n+1)=1n-1n+1；
∴{b_n}的前n项和Tn=(1-12)+(12-13)+(13-14)++(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。