已知数列{xn}满足x1=x2=1并且xn+1xn=λxnxn-1，(λ为非零参数，n=2，3，4，…）．若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值；（2

题文

已知数列{x_n}满足x₁=x₂=1并且xn+1xn=λxnxn-1，(λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）设0＜λ＜1，常数k∈N^*且k≥3，证明x1+kx1+x2+kx2+…+xn+kxn＜λk1-λk(n∈N*). 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知x₁=x₂=1，且x3x2=λx2x1⇒x3=λ，x4x3=λx3x2⇒x4=λ3，x5x4=λx4x3⇒x5=λ6.
若x₁、x₃、x₅成等比数列，
则x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，
解得λ=±1．
（2）证明：设an=xn+1xn，由已知，数列{a_n}是以x2x1=1为首项、λ为公比的等比数列，
故xn+1xn=λn-1，
则xn+kxn=xn+kxn+k-1.xn+k-1xn+k-2xn+1xn=λ^n+k-2．λ^n+k-3λ^n-1
λkn+k(k-3)2.
因此，对任意n∈N^*，x1+kx1+x2+kx2++xn+kxn=λk+k(k-3)2+λ2k+k(k-3)2++λkn+k(k-3)2=λk(k-3)2(λk+λ2k++λnk)
=λk(k-3)2λk(1-λnk)1-λk.
当k≥3且0＜λ＜1时，0＜λk(k-3)2≤1，0＜1-λnk＜1，
所以x1+kx1+x2+kx2++xn+kxn＜λk1-λk(n∈N*).

解析

x3x2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{xn}满足x1=x2=1并且x.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。