等差数列{an}的公差d不为零，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项．求数列{an}的通项公式及前n项和Sn证明数列{2an}为等比数列；

题文

等差数列{a_n}的公差d不为零，首项a₁=1，a₂是a₁和a₅的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n
（2）证明数列{2an}为等比数列；
（3）求数列{1an•an+1}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，∵a₂是a₁和a₅的等比中项
∴（a₁+d）²=a₁（a1+4d），
即a₁²+2a₁d+d²=a₁²++4a₁d，
∴d=2a₁=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，Sn=n×1+n(n-1)2×2=n2
（2）证明：∵2an2an-1=2an-an-1=2d=4
∴数列{2an}为等比数列；
（3）1an•an+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴数列{1an•an+1}的前n项和T_n=12{(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的公差d不为零，首项a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。