等比数列{an}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a22=9a1•a5，．求数列{an}的通项公式；设a1•a2•a3…an=31bn，求数列{b

题文

等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+6a₂=1，a₂²=9a₁•a₅，．
（I ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a₁•a₂•a₃…a_n=31bn，求数列{b_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设{an}的公比为q，则q＞0，
由已知有a1+6a1q=1(a1q)2=9(a1•a1q4)
可解得q=13（q=-13舍去），a1=13．
∴an=13•(13)n-1=(13)n．  …（6分）
（Ⅱ）∵31bn=13•(13)2•(13)3…(13)n
=(13)1+2+3+…+n=(13)2(n+1)2
=3-n(n+1)2
∴1bn=-n(n+1)2，
即bn=-2n(n+1)=-2(1n-11+n)．…（9分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=-2(1-12+12-13+…+1n-11+n)
=-2（1-11+n）=-2nn+1． …（12分）

解析

a1+6a1q=1(a1q)2=9(a1•a1q4)

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}的各项均为正数，且a1+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。