已知等比数列{an}的前n项和为Sn=(13)n-c，正数数列{bn}的首项为c，且满足：bn+1=bn1+2bn(n∈N*)．记数列{bnbn+1}前n项和为

题文

已知等比数列{a_n}的前n项和为Sn=(13)n-c，正数数列{b_n}的首项为c，且满足：bn+1=bn1+2bn(n∈N*)．记数列{b_nb_n+1}前n项和为T_n．
（Ⅰ）求c的值； 
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a1=13-c，a2=(13)2-13=-29，a3=(13)3-(13)2=-227（3分）
因为{a_n}为等比数列所以a₂²=a₁a₃，得c=1（4分）
经检验此时{a_n}为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵bn+1=bn1+2bn(n∈N*)
∴1bn+1=1bn+2(n∈N*)
数列{1bn}为等差数列   （7分）
又S₁=b₁=c=1，所以1bn+1=1b1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*)
所以bn=12n-1（n∈N^*）（10分）
（Ⅲ）Tn=12(1b1-1b2+1b2-1b3+…+1bn-1bn+1)=12(1-12n+1)=n2n+1（12分）
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列
则13×n2n+1=(m2m+1)2，所以n=3m2-2m2+4m+1
由n＞m＞1得3m2-2m2+4m+1＞m且-2m²+4m+1＞0
即2m2-m-1＞02m2-4m-1＜0，所以m＞1或m＜-121-62＜m＜1+62
因为m为正整数，所以m=2，此时n=12
所以满足题意的正整数存在，m=2，n=12．（15分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的前n项和为Sn=(.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。