已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn+an=1．求证：数列{an}是等比数列；记bn=10+log9an，求{bn}的前n项和Tn

题文

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n+a_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ） 记b_n=10+log₉a_n，求{b_n}的前n项和T_n的最大值及相应的n值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 2s_n+a_n=1，2s_n-1+a_n-1=1（n≥2，n∈N*）相减得3a_n=a_n-1（3分）
又2s₁+a₁=1得a1=13∴a_n≠0（5分）
∴anan-1=13(n≥2，n∈N*)
∴数列{a_n}是等比数列 （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a_n}是等比数列，an=(13)nbn=10+log 9an=10-12n，（10分）
当T_n最大值时  bn≥0bn+1≤0⇒19≤n≤20
∵n∈N^*，∴n=19或n=20（12分）
∴(Tn)max=T19=T20=20×1922=95（14分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和是Sn，且2S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。