已知数列{an}满足a1=-1，an+1=(3n+3)an+4n+6n，数列{bn}满足bn=3n-1an+2求证：数列{an+2n}为等比数列，并求数列

题文

已知数列{a_n}满足a₁=-1，an+1=(3n+3)an+4n+6n，数列{b_n}满足bn=3n-1an+2
（1）求证：数列{an+2n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（2）求证：当n≥2时，bn+1+bn+2+…+b2n＜45-12n+1
（3）设数列{b_n}的前n项和为{s_n}，求证：当n≥2时，sn2＞2(s22+s33+…+snn)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意an+1n+1=3ann+6n-2n+1，即an+1+2n+1=3an+2n
∴a_n=n•3^n-1-2…（4分）
（2）当n=2时，b3+b4=13+14＜45-15即n=2时命题成立
假设n=k（k≥2）时命题成立，即1k+1+1k+2+…+12k＜45-12k+1
当n=k+1时，1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2＜45-12k+1-1k+1+12k+1+12k+2
=45-12k+2＜45-12k+3即n=k+1时命题也成立
综上，对于任意n≥2，bn+1+bn+2+…+b2n＜45-12n+1…（8分）
（3）bn=1n当n≥2时，bn=sn-sn-1=1n，即sn-1n=sn-1
平方则sn2-2snn+1n2=sn-12∴sn2-sn-12=2snn-1n2
叠加得sn2-1=2(sn2+sn3+…+snn)-(122+132+…+1n2)
∴sn2=2(s22+s33+…+snn)+1-(122+…+1n2)
∴sn2＞2(s22+s33+…+snn)…（13分）

解析

an+1n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=-1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。