已知数列{an}的前n项和Sn=2-an，数列{bn}满足b1=1，b3+b7=18．且bn+1+bn-1=2bn．数列{an}和{bn}的通项

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18．且b_n+1+b_n-1=2b_n（n≥2）．
（I）数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_n•c_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解由题意可得S_n=2-a_n，①
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②得，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，即an=12an-1
又a₁=S₁=2-a₁，可得a₁=1，易知a_n-1≠0，anan-1=12
故数列{a_n}是以1为首项，12为公比的等比数列，所以an=12n-1
由b_n+1+b_n-1=2b_n可知数列{b_n}为等差数列，设其公差为d，
则b5=12(b3+b7)=9，所以d=b5-b14=2，
故b_n=b₁+（n-1）d=2n-1
（II）由（I）结合题意可得，cn=bnan=（2n-1）•2^n-1．
则Tn=1×20+3×21+5×22+…+（2n-1）×2^n-1   ③
两边同乘以2得，2Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2ⁿ  ④
③-④得，-T_n=1+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
整理得，-T_n=1+2×2-2n1-2-(2n-1)2n=-（2n-3）•2ⁿ-3
故Tn=(2n-3)•2n+3

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=2-an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。