设数列{an}、{bn}满足：a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}是等差数列，{bn-2}是等比数列，其中n∈N*．求

题文

设数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，{b_n-2}是等比数列，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为 {a_n+1-a_n}是等差数列，
所以a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，a₄-a₃=0，…，a_n-a_n-1=n-4，
以上各式相加得，a_n-a₁=(n-1)(n-6)2，即a_n=6+(n-1)(n-6)2（n≥2），
又a₁=6，所以a_n=6+(n-1)(n-6)2；
b₁-2=4，b₂-2=2，所以公比为12，
所以bn-2=4•(12)n-1=2^3-n，故bn=23-n+2；
（2）S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2n+4[1-(12)n]1-12=2n+8-2^3-n．

解析

(n-1)(n-6)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}、{bn}满足：a1=b1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。