将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：，，，，…每一组的第1个数

题文

将数列{a_n}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一组的第1个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求证：数列{1Sn}成等差数列，并求出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从第2组起，每一组中的数自左向右均构成等比数列，且公比q为同一个正数，当a₁₈=-215时，求公比q的值；   
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记每组中最后一数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成的数列为{c_n}，设d_n=n²（n-1）•c_n，求数列{d_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：由s_n+1（s_n+2）=s_n（2-s_n+1）
得s_n-s_n+1=s_ns_n+1
所以1sn+1-1sn=1
又s₁=b₁=a₁=1
所以数列{1sn}是首项为1，公差为1的等差数列
所以1sn=n，即sn=1n
所以bn=1，n=1-1n(n-1)，n≥2
（II）因为1+2+…+5=15
所以第1行至第5行共含有数列{a_n}的15项
故a₁₈在表中第6行第三列．（12分）
所以，a₁₈=-215=b6q2，（13分）
所以q=2．（14分
（III）因为从第2组起，每组中的数据依次构成以b_n为首项，2为公比的等比数列
所以cn=-1n(n-1)•2n-1（n≥2，n∈N^*）
即Cn=1，n=1-1n(n-1)•2n-1，n≥2
于是n≥2当时那么相减得，T_n=0+（-2）×2+（-3）×2²+…+（-n）•2^n-1
-T_n=0+2×2+3×2²+…+n•2^n-1
-2T_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相减可得，T_n=2×2+2²+2³+…+2^n-1-n•2^n-1=（1-n）•2ⁿ

解析

1sn+1

考点

据考高分专家说，试题“将数列{an}中的所有项按每组比前一组项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。