已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=1an•an+1，n∈N*，Tn

题文

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=1an•an+1，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得a21=S1a22=S3，即 a21=a 1(a 1+d)2=3a 1+3d（2分）
解得a₁=1，d=2，（3分）
∴a_n=2n-1．
∵bn=1an•an+1=1(2n-1)•(2n+1)=12（ 1(2n-1)-1(2n+1) ），
∴Tn=12（1-13+13-15+…+1(2n-1)-1(2n+1) ）=n2n+1．（5分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜(n+8)(2n+1)n=2n+8n+17恒成立．（6分）∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜(n-8)(2n+1)n=2n-8n-15恒成立．（8分）
∵2n-8n是随n的增大而增大，
∴n=1时，2n-8n取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T₁=13，Tm=m2m+1，Tn=n2n+1，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则（m2m+1）2=13 （n2n+1），
即 m24m2+4m+1=n6n+3．（11分）
由m24m2+4m+1=n6n+3，可得 3n=-2m2+4m+1m2＞0，
即-2m²+4m+1＞0，（12分）
∴1-62＜m＜1+62．（13分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．（14分）

解析

a21=S1a22=S3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是各项均不为0的等差数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。