已知数列{an}为各项均为正的等比数列，其公比为q．当q=32时，在数列{an}中：①最多有几项在1～100之间？②最多有几项是1～100之间的整数？（2

题文

已知数列{a_n}为各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q=32时，在数列{a_n}中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列{a_n}中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①不妨设a₁≥1，设数列a_n有n项在1和100之间，则a1•(32)n-1≤100．所以，(32)n-1≤100．
两边同取对数，得（n-1）（lg3-lg2）≤2．解之，得n≤12.37．
故n的最大值为12，即数列a_n中，最多有12项在1和100之间．（5分）
②不妨设1≤a₁＜a1•32＜a1•(32)2＜＜a1•(32)n-1≤100，其中a₁，a1•32，a1•(32)2，，a1•(32)n-1均为整数，所以a₁为2^n-1的倍数．所以3^n-1≤100，所以n≤5．（8分）
又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．
所以，当q=32时，最多有5项是1和100之间的整数．（10分）
（2）设等比数列aq^n-1满足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，
其中a，aq，，aq^n-1均为整数，n∈N^*，q＞1，显然，q必为有理数．（11分）
设q=ts，t＞s≥1，t与s互质，
因为aq^n-1=a(ts)n-1为整数，所以a是s^n-1的倍数．（12分）
令t=s+1，于是数列满足100≤a＜a•s+1s＜＜a•(s+1s)n-1≤100．
如果s≥3，则1000≥a•(s+1s)n-1≥（q+1）n-1≥4n-1，所以n≤5．
如果s=1，则1000≥a•2^n-1≥100•2^n-1，所以，n≤4．
如果s=2，则1000≥a•(32)n-1≥100•(32)n-1，所以n≤6．（13分）
另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数，
所以，当q＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数．（16分）

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为各项均为正的等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。