平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．写出圆O的方程；圆O与x轴相交于A、B

题文

平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA•PB的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵直线方程为y=mx+（3-4m）
∴易得l过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上
∴圆O的方程为：x²+y²=25
（2）∵圆O与x轴相交于A、B两点
故A（-5，0） B（5，0）
设P（x₀，y₀）为圆内任意一点
故：x₀²+y₀²＜25            ①
PA=(-5-x0，-y0)，PB=(5-x0，-y0)
由使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得：
|PO|2=|PA|•|PB|
∴x₀²+y₀²=(x0+5)2+y02•(x0-5)2+y02
整理得：x₀²-y₀²=252         ②
由①②得：
0≤y₀²≤254
PA• PB=（x₀²-25）+y₀²=2y₀²-252
∴PA•PB∈[-252，0）．

解析

PA

考点

据考高分专家说，试题“平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。