已知数列{an}的首项为a1=3，点在直线3x-y=0上．求数列{an}的通项公式；若f=a1x+a2x2+…+

题文

已知数列{a_n}的首项为a₁=3，点（a_n，a_n+1）在直线3x-y=0（n∈N^*）上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求f'（1）的值，并化简．
（Ⅲ）若c_n=log₃a_n³-2（n∈N^*），证明对任意的n∈N^*，不等式(1+1c1)(1+1c2)•…•(1+1cn)＞33n+1恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知有3a_n-a_n+1=0，∴an+1an=3，
所以数列{a_n]为以3为公比，以a₁=3为首项的等比数列，
∴a_n=a₁3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ则
f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nx^n-1
∴f′（1）=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ   ①
∴3f′（1）=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹    ②
①-②得-2f′（1）=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=3(3n-1)3-1-n•3ⁿ⁺¹
∴f′（1 ）=-3(3n-1)4+n2•3n+1=(2n-1)3n+14+34
（Ⅲ）证明：由已知c_n=3n-2，则 1+1cn=1+13n-2，所以
(1+1c1)( 1+1c2)••(1+1cn)=(1+1)(1+14)…(1+13n-2)
下面用数学归纳法证明不等式(1+1c1)(1+1c2)•…•(1+1cn)＞33n+1
成立．
①当n=1时，左边=2，右边=34，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即(1+1c1)( 1+1c2)••(1+1ck)=(1+1)(1+14)…(1+13k-2)＞33k+1成立．
则当n=k+1时，左边(1+1c1)( 1+1c2)••(1+1ck)[1+13(k+1)-2]
=(1+1)(1+14)…(1+13k-2)[1+13(k+1)-2]
＞33k+1•[1+13(k+1)-2]=33k+1•3k+23k+1=3(3k+2)3(3k+1)2
只要证3(3k+2)3(3k+1)2＞＞33(k+1)+1成立即可
只需证    (3k+2)3(3k+1)2＞3k+4成立，
只需证（3k+2）³＞（3k+4）（3k+1）²成立，
只需证27k³+54k²+36k+8＞27k³+54k²+27k+4成立，
只需证9k+4＞0成立，由于k为正整数，显然成立．
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①，②可得不等式(1+1c1)(1+1c2)•…•(1+1cn)＞33n+1恒成立

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项为a1=3，点（a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。