数列{an}中，an+1=an22an-2，n∈N*．若a1=94，设bn=log13an-2an，求证数列{bn}是等比数列，并求出数列{an}的通项公

题文

数列{a_n}中，an+1=an22an-2，n∈N^*．
（I）若a1=94，设bn=log13an-2an，求证数列{b_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：2＜an＜2+a1-22n-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：
∵bn+1=log13an+1-2an+1=log13a2n2an-2-2a2n2an-2=log13(an-2an)2=2log13(an-2an)=2bn，
（2分）
∵b1=log13a1-2a1=2，∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，（4分）
∴b_n=2ⁿ，即log13an-2an=2n，得an-2an=(13)2n，所以an=21-(13)2n．（6分）
（II）证明：（i）当n=2时，∵a₁＞2，
∴a2-2=a212a1-2-2=(a1-2)22a1-2＞0，
∴a2-2-a1-22=(a1-2)22a1-2-a1-22=2-a12(a1-1)＜0，
∴2＜a2＜2+a1-221，不等式成立；（8分）
（ii）假设当n=k（k≥2）时，2＜ak＜2+a1-22k-1成立，
那么，当n=k+1时，去证明2＜ak+1＜2+a1-22k
∵ak+1-2=ak2ak-2-2=(ak-2)22(ak-1)＞0，
∴a_k+1＞2；
∵ak+1-2-a1-22k=(ak-2)22(ak-1)-a1-22k＜(ak-2)22(ak-2)-a1-22k=ak-22-a1-22k，ak-22-a1-22k＜2+a1-22k-1-22-a1-22k=0
∴ak+1＜2+a1-22k；
∴2＜ak+1＜2+a1-22k，
所以n=k+1不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，an+1=an22an-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。