己知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数求a2，a3；设bn=a2n-2，n∈N*，求证{bn} 是等比

题文

己知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数
（1）求a₂，a₃；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证{b_n} 是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求数列{a_n} 前100项中的所有偶数项的和S． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可得，a2=12a1+1=12×1+1=32，a₃=a₂-4=-52，（4分）
（Ⅱ）∵bn+1bn=a2n+2-2a2n-2=12a2n+1+2n+1-2a2n-2
=12(a2n-4n)+2n-1a2n-2=12a2n-1a2n-2=12    （6分）
∵b1=a2-2=-12     （9分）
∴数列{b_n}是等比数列，且bn=-12×(12)n-1=-(12)n （l0分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a_2n=b_n+2=2-(12)n（n=1，2，…50）（12分）
∴S=a₂+a₄+…+a₁₀₀=2×50-12(1-1250)1-12
=100-1+1250=99+1250（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“己知数列{an}满足：a1=1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。