已知x1=13，xn+1=x2n+xn-a．若a=14，求证：数列{lg(xn+12)}是等比数列；在条件下，求证：xn

题文

已知x1=13，xn+1=x2n+xn-a．（n∈N^*，a为常数）
（1）若a=14，求证：数列{lg(xn+12)}是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：xn≤(56)n-12，(n∈N*)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵xn+1=x2n+xn-14，
∴xn+1+12=xn2+xn+14=(xn+12)2，（1分）
∵x1=13∴xn+12＞0，则 lg(xn+1+12)=2lg(xn+12)，（3分）
∴数列{lg(xn+12)}是以lg56为首项，以2为公比的等比数列，（4分）
（2）由（1）知lg(xn+12)=(lg56)•2n-1，化简得xn+12=(56)2n-1
∵0＜56＜1，∴要证(56)n-12≥xn，只需证2ⁿ≥2n，（8分）
证法一：当n=1或2时，有2ⁿ=n，
当n≥3时，2n=(1+1)n=1+C1n+C2n+…+Cnn
≥1+n+n(n-1)2≥1+2n＞2n，（10分）
∴2ⁿ≥2n对n∈N^*都成立，n=1
∴xn≤(56)n-12，，(n∈N*)．（12分）
证法二：用数学归纳法证明，
①当时，结论显然成立；n=k+1，（9分）
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即2^k≥2k，
当n=k+1时，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），1xn+1=1xn(xn+1)=1xn-1xn+11xn+1=1xn-1xn+1，（10分）
∴当时结论也成立
综合①、②知xn≤(56)n-12，对n∈N^*都成立．（12分）

解析

x2n

考点

据考高分专家说，试题“已知x1=13，xn+1=x2n+xn-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。