数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列．令bn=1-a1-a2-…-an，cn=2-b1-b2-…-bn，n∈N*．试用a、q表示bn和cn；

题文

数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列．令b_n=1-a₁-a₂-…-a_n，c_n=2-b₁-b₂-…-b_n，n∈N^*．
（1）试用a、q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列．若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当q=1时，b_n=1-（a₁+a₂+…+a_n）=1-na，cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-[(1-a)+(1-na)]n2=a2n2+(a2-1)n+2，
当q≠1时，bn=1-(a1+a2+…+an)=1-a(1-qn)1-qcn=2-(b1+b2+…+bn)=2-(1-a1-q)n-a1-q(q+q2+…+qn)
=2-(1-a1-q)n-aq(1-q)2(1-qn)
=2-aq(1-q)2-(1-a1-q)n+aq(1-q)2qn
所以bn=1-na，q=11-a(1-qn)1-q，q≠1，
c_n=a2n2+(a2-1)n+2  q=12-aq(1-q)2-(1-a1-q)n+aq(1-q)2qn q≠1；（4分）
（2）因为cn=2-aq(1-q)2-(1-a1-q)n+aq(1-q)2qn，
所以cn+1=2-aq(1-q)2-(1-a1-q)(n+1)+aq(1-q)2qn+1cn+1-cn=-(1-a1-q)+aq(1-q)2(qn+1-qn)=-1+a1-q(1-qn+1)
当q＞1时，1-q＜0，1-qⁿ⁺¹＜0；
当0＜q＜1时，1-q＞0，1-qⁿ⁺¹＞0，
所以当a＜0，q＞0且q≠1时，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；（5分）
（3）因为q≠1，q≠0，
所以cn=2-aq(1-q)2-(1-a1-q)n+aq(1-q)2qn，
因为{c_n}为等比数列，则2-aq(1-q)2=01-a1-q=0或aq(1-q)2=01-a1-q=0，
所以a=13q=23或a=1q=0（舍去），所以a=13q=23．（5分）

解析

[(1-a)+(1-na)]n2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}是以a为首项，q为公比的等比.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。