已知定义在R上的函数f和数列{an}满足下列条件：an=f，f(an)-f(an-1)=an-an-12(n=2，3，4

题文

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），f(an)-f(an-1)=an-an-12(n=2，3，4，…），若a₁=30，a₂=60，令b_n=a_n+1-a_n（n∈N₊）．
（I）证明数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=log₂b_n，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求使S_n取最大值时的n值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴bn+1bn=an+2-an+1an+1-an=f(an+1)-f(an)an+1-an=an+1-an2an+1-an=12
∴数列{b_n}是等比数列，
∵b₁=a₂-a₁=30∴bn=15•(12)n-2．
（II）c_n=log₂15+2-n，
∵c_n+1-c_n=-1，
∴数列{c_n}是递减的等差数列，
令c_n＞0得n＜2+log₂15，∵log₂15∈（3，4），
∴2+log₂15∈（5，6）
∴数列{c_n}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，
∴n=5时，S_n取最大值．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）和数列{an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。