已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切n∈N^*，都有b1a1+b22a2+…+bnnan=2n+1成立，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：由a_n+1=4a_n-3a_n-1可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1）
所以数列{a_n+1-a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列 …（3分）
故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2(1-3n-1)1-3+1=3n-1…（6分）
（II）由 b1a1+b22a2+…+bnnan=2n+1可知
当n=1时，b1a1=3，b₁=3，S₁=3
当n≥2时，bnnan=2n+1-(2n-1)=2，bn=2n×3n-1…（8分）Sn=b1+b2+…+bn=3+2×2×3+2×3×32+…2×n×3n-1
=2（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…n×3^n-1）+1
设x=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1
3x=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ
∴2x=n×3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…3⁰）=n×3n-3n-12Sn=(n-12)×3n+32…（11分）
综上Sn=(n-12)×3n+32，n∈N*…（12分）

解析

2(1-3n-1)1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=3，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。