已知数列{an}满足：a1=2且an+1=2(n+1)anan+n求证：数列{nan-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；证明：

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=2且an+1=2(n+1)anan+n（n∈N^*）
（1）求证：数列{nan-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：a11+a22+a33+…+ann＜n+2（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
（1）由题得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，
即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，
故2(n+1an+1-1)=nan-1即数列{nan-1}为等比数列，…（3分）
∴nan-1=(-12)(12)n-1=-(12)n，
∴an=n+n2n-1…（7分）
（2）由（1）知ann=1+12n-1…（8分）
∴a11+a22+a33+…+ann≤n+120+121+122+…+12n-1
=n+[1-(12)n]1-12=n+2-(12)n-1＜n+2…（14分）

解析

n+1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=2且an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。